2027학년도 신한대학교 약술형 논술 수학 실전 모의고사 제5회 해설집 (중상 (응용 심화))

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 예제 2·문제 4 거듭제곱근과 지수의 성질 변형 | 성취기준: [12대수01-02], [12대수01-03]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 자연 13번 응용 (거듭제곱근과 유리수 지수의 자연수 조건)

문제 5-1

$2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 $\left(\sqrt[n]{3^{9}}\right)^2$의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $n$의 개수와 그 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환하고 그 값이 자연수가 되기 위한 지수의 약수 조건을 추론할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환 (40%)

지수법칙에 의하여 $\left(\sqrt[n]{3^{9}}\right)^2 = \left(3^{\frac{9}{n}}\right)^2 = 3^{\frac{18}{n}}$이다.

Step 2. 자연수가 되기 위한 $n$의 약수 조건 도출 (40%)

$3^{\frac{18}{n}}$이 자연수가 되려면 지수 $\dfrac{18}{n}$이 자연수여야 하므로, $n \; (n \ge 2)$은 $18$의 약수여야 한다.
따라서 가능한 $n$의 값은 $2, 3, 6, 9, 18$로 총 $5$개이다.

Step 3. 모든 자연수 $n$의 합 계산 (20%)

조건을 만족하는 모든 자연수 $n$의 합은 $2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 38$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
유리수 지수 변형 및 약수 조건 도출	$3^{\frac{18}{n}}$에서 $n$이 $18$의 $2$ 이상인 약수임을 보인 경우	5점
개수와 합 계산	개수 $5$개 (2점), 합 $38$ (3점)	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.13 문제 3·문제 4 로그방정식과 로그부등식 변형 | 성취기준: [12대수01-08], [12대수01-07]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 13번 응용 (로그의 진수 조건과 로그부등식의 결합)

문제 5-2

부등식 $\log_2(x - 2) + \log_2(x - 4) \le 3$을 만족시키는 모든 정수 $x$의 값의 합을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 로그의 진수 조건을 먼저 확인하고 로그의 성질을 이용해 로그부등식의 해를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 로그의 진수 조건 확인 (30%)

진수는 양수여야 하므로 $x - 2 > 0$이고 $x - 4 > 0$에서 $x > 4$이다.

Step 2. 로그의 성질을 이용한 이차부등식 풀이 (40%)

$\log_2\{(x - 2)(x - 4)\} \le \log_2 8$에서 밑 $2 > 1$이므로
$$(x - 2)(x - 4) \le 8 \implies (x - 0)(x - 6) \le 0 \implies 0 \le x \le 6$$

Step 3. 진수 조건과의 공통범위 및 정수해의 합 도출 (30%)

진수 조건 $x > 4$과 연립하면 $4 < x \le 6$이므로 정수 $x$는 5, 6이고, 그 합은 $11$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
진수 조건 명시	진수 조건 $x > 4$을 구한 경우	3점
부등식의 해 도출	$4 < x \le 6$를 구한 경우	4점
정수해의 합 도출	정수 $x$의 합 $11$을 구한 경우	3점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.25 예제 4 삼각함수의 성질과 방정식 변형 | 성취기준: [12대수02-02], [12대수02-01]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2025학년도 신한대 인문 15번 · 자연 11번 응용 (삼각함수 각변환과 치환 최대·최소)

문제 5-3

정의역이 $\{x \mid 0 \le x \le \pi\}$인 함수 $f(x) = 2\sin^2 x + 4\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 3$이 $x = \alpha$에서 최댓값 $M$, $x = \beta$에서 최솟값 $m$을 가질 때, $\alpha, \beta, M, m$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼각함수의 각변환 공식 $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x$와 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 결합하여 최대·최소를 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 각변환 및 $\cos x = t$ 치환 (40%)

$\sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x$이고 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$이므로
$$f(x) = 2(1 - \cos^2 x) - 4\cos x + 3 = -2\cos^2 x - 4\cos x + 5$$
$\cos x = t \; (-1 \le t \le 1)$로 치환하면 $g(t) = -2(t + 1)^2 + 7$이다.

Step 2. 최댓값 $M$과 최솟값 $m$ 및 $\alpha, \beta$ 도출 (60%)

구간 $[-1, 1]$에서 $g(t)$는 감소하므로
• $t = \cos x = -1 \implies x = \pi$일 때 최댓값 $M = g(-1) = 7$ ($\alpha = \pi$)
• $t = \cos x = 1 \implies x = 0$일 때 최솟값 $m = g(1) = -1$ ($\beta = 0$)

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
각변환 및 치환 함수 유도	$g(t) = -2(t+1)^2 + 7 \; (-1 \le t \le 1)$을 구한 경우	4점
최댓값 $M$, 최솟값 $m$ 및 $\alpha, \beta$ 도출	$\alpha = \pi, \beta = 0, M = 7, m = -1$을 구한 경우	6점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 대수 교과서 Ⅱ-2. 사인법칙과 코사인법칙 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.31 예제 1·문제 1 사인법칙과 코사인법칙 변형 | 성취기준: [12대수02-03]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 12번 응용 (사인법칙과 코사인법칙의 복합 추론)

문제 5-4

삼각형 $ABC$에서 $\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$이고 둘레의 길이가 $30$일 때, $\angle C$의 크기와 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 사인법칙으로부터 세 변의 길이의 비를 구하고, 코사인법칙으로 각의 크기를 구한 뒤 외접원의 반지름을 도출할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 사인법칙과 둘레의 조건으로 세 변의 길이 도출 (30%)

사인법칙에 의하여 $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$이고 둘레의 길이가 $30$이므로 $a = 6, \; b = 10, \; c = 14$이다.

Step 2. 코사인법칙으로 $\angle C$의 크기 도출 (40%)

$$\begin{aligned} \cos C &= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{36 + 100 - 196}{2 \times 6 \times 10} \\ &= -\frac{1}{2} \implies \angle C=\frac{2\pi}{3} \end{aligned}$$

Step 3. 사인법칙으로 외접원의 반지름 $R$ 계산 (30%)

$$\begin{aligned} \frac{c}{\sin C} &= 2R \\ &\implies 2R = \frac{14}{\sin\frac{2\pi}{3}} = \frac{28}{\sqrt{3}} \\ &\implies R = \frac{14\sqrt{3}}{3} \end{aligned}$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
세 변의 길이와 $\angle C$ 도출	$a=6, b=10, c=14$ 및 $\angle C = \dfrac{2\pi}{3}$를 구한 경우	6점
외접원의 반지름 $R$ 도출	$R = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}$을 구한 경우	4점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 (교과서 156쪽) 예제 1·문제 1 등차·등비수열과 수열의 귀납적 정의 변형 | 성취기준: [12대수03-06], [12대수03-02], [12대수03-03], [12대수03-05]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 13번 응용 (수열의 합과 일반항 및 부분분수 망원급수)

문제 5-5

수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = n^2 + 3n$일 때, 일반항 $a_n$과 $\displaystyle\sum_{k=1}^{9} \dfrac{4}{a_k a_{k+1}}$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $a_n = S_n - S_{n-1}$을 이용하여 일반항을 구하고 부분분수 분해를 통해 급수의 합을 구할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $S_n - S_{n-1}$을 이용한 일반항 $a_n$ 도출 (40%)

$n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 3n) - \{(n-1)^2 + 3(n-1)\} = 2n + 2$이고, $a_1 = S_1 = 4$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n = 2(n + 1)$이다.

Step 2. 부분분수 분해 및 연쇄 소거 계산 (60%)

$$\frac{4}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}$$
따라서 구하는 합은 $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{11} = \dfrac{9}{22}$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
일반항 $a_n$ 도출	$a_n = 2n + 2$을 구한 경우	4점
부분분수 합 도출	부분분수 소거를 통해 $\dfrac{9}{22}$을 구한 경우	6점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 (교과서 22쪽) 예제 3·문제 7 함수의 극한에 대한 성질 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-01-02]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 12번 · 자연 11번 심화 (두 극한 조건을 이용한 다항함수 추론)

문제 5-6

다항함수 $f(x)$가 다음 두 조건을 모두 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

< 조 건 >

(가) $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2 + 1} = 2$

(나) $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 8$

1. 출제 의도 및 평가 목표

• $x \to \infty$에서의 극한으로 다항함수의 차수와 최고차항의 계수를 결정하고, $x \to 1$에서의 극한으로 인수를 결정할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 조건 (가)로부터 $f(x)$의 차수와 최고차항 계수 결정 (40%)

조건 (가)에서 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $2$인 이차함수이고, 조건 (나)에서 $f(1) = 0$이므로 $f(x) = 2(x - 1)(x - k)$ (단, $k$는 상수)로 놓을 수 있다.

Step 2. 조건 (나)에 대입하여 $k$와 $f(2)$ 도출 (60%)

$$\lim_{x \to 1} \frac{2(x - 1)(x - k)}{x - 1} = 2(1 - k) = 8 \implies 1 - k = 4 \implies k = -3$$
따라서 $f(x) = 2(x - 1)(x + 3)$이므로 $f(2) = 2 \times 1 \times 5 = 10$이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
이차함수 $f(x)$의 식 설정	$f(x) = 2(x-1)(x-k)$로 설정한 경우	4점
$k$와 $f(2)$ 도출	$k = -3$ 및 $f(2) = 10$을 구한 경우	6점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.17 (교과서 66쪽) 예제 3·문제 4 미분계수와 도함수 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-04], [12미적Ⅰ-02-01]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 9번 응용 (미분계수의 정의와 미분가능 조건)

문제 5-7

함수 $f(x) = \begin{cases} x^3 + 2x^2 & (x \ge 1) \\ bx + c & (x < 1) \end{cases}$이 $x = 1$에서 미분가능할 때, 상수 $b, c$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 함수가 $x = 1$에서 미분가능하기 위한 연속 조건과 좌·우미분계수 일치 조건을 연립할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. $x = 1$에서의 연속 조건 적용 (40%)

$f(x)$가 $x = 1$에서 미분가능하면 연속이므로 $\lim\limits_{x \to 1-} f(x) = f(1)$에서
$$b + c = 1 + 2 = 3$$

Step 2. 좌·우미분계수 일치 조건으로 $b, c$ 도출 (60%)

$x > 1$에서 $f'(x) = 3x^2 + 4x$, $x < 1$에서 $f'(x) = b$이므로
$$b = 3(1)^2 + 4(1) = 7, \quad c = 3 - 7 = -4$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
연속 조건 관계식 도출	$b + c = 3$를 구한 경우	4점
상수 $b, c$ 도출	$b = 7$ (3점), $c = -4$ (3점)	6점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 (교과서 88쪽) 예제 3·문제 5 함수의 극대와 극소 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-07], [12미적Ⅰ-02-08]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 인문 15번 응용 (도함수의 부호와 삼차함수의 증가 조건)

문제 5-8

함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + 12x + 5$가 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 $a$의 값의 범위와 정수 $a$의 개수를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼차함수가 실수 전체에서 증가하기 위한 필요충분조건이 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \ge 0$ ($D \le 0$)임을 이해하고 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 도함수 $f'(x) \ge 0$ 조건 설정 (40%)

삼차함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 $x$에 대하여
$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + 12 \ge 0$$
이 성립해야 한다.

Step 2. 이차방정식의 판별식 $D/4 \le 0$ 풀이 및 정수 개수 도출 (60%)

이차방정식 $f'(x) = 0$의 판별식을 $D$라 하면
$$\frac{D}{4} = a^2 - 3 \times 12 = a^2 - 36 = (a + 6)(a - 6) \le 0 \implies -6 \le a \le 6$$
따라서 정수 $a$의 개수는 $6 - (-6) + 1 = 13$개이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
판별식 $D/4 \le 0$ 조건 수립	$f'(x) \ge 0$으로부터 $a^2 - 36 \le 0$을 유도한 경우	5점
범위와 정수 개수 도출	$-6 \le a \le 6$ 및 정수 개수 $13$개를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 (교과서 97쪽) 예제 3·문제 4 방정식과 부등식에의 활용 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-02-09], [12미적Ⅰ-02-07]]

🎯 신한대 기출 매핑: 2026학년도 신한대 자연 15번 응용 (도함수를 이용한 방정식의 실근의 개수)

문제 5-9

$x$에 대한 삼차방정식 $x^3 - 12x - k = 0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값의 범위와 정수 $k$의 개수를 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 삼차함수의 그래프와 직선 $y = k$의 교점의 개수를 극댓값과 극솟값을 이용하여 판정할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 함수 $f(x) = x^3 - 12x$의 극댓값과 극솟값 계산 (50%)

$f(x) = x^3 - 12x$라 하면 $f'(x) = 3(x + 2)(x - 2) = 0$에서
극댓값은 $f(-2) = 16$이고, 극솟값은 $f(2) = -16$이다.

Step 2. 직선 $y = k$가 세 점에서 만날 조건 도출 (50%)

곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나려면 극솟값보다 크고 극댓값보다 작아야 하므로
$$-16 < k < 16$$
따라서 정수 $k$의 개수는 $2 \times 16 - 1 = 31$개이다.

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
극댓값과 극솟값 도출	극댓값 $16$, 극솟값 $-16$을 구한 경우	5점
실수 $k$의 범위 및 정수 개수 도출	$-16 < k < 16$ 및 $31$개를 구한 경우	5점

📚 교과서 원천 출처: [출처: 미래엔(황선욱) 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.17 (교과서 128쪽) 예제 4·문제 7 정적분으로 정의된 함수 변형 | 성취기준: [12미적Ⅰ-03-04], [12미적Ⅰ-02-07]]

🎯 신한대 기출 매핑: 미래엔 미적분Ⅰ p.128 예제 4 · 신한대 정적분 응용 (정적분으로 정의된 함수)

문제 5-10

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 등식 $\displaystyle\int_{2}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 3x^2 + kx$를 만족시킬 때, 상수 $k$의 값과 $f(3)$의 값을 구하는 풀이 과정을 서술하시오.

1. 출제 의도 및 평가 목표

• 정적분으로 정의된 함수에서 위끝과 아래끝에 같은 값을 대입하는 성질과 양변을 미분하는 관계를 활용할 수 있는지를 평가한다.

2. 약술형 단계별 모범 풀이 (Step-by-Step Solution)

Step 1. 양변에 $x = 2$을 대입하여 상수 $k$ 도출 (40%)

주어진 등식의 양변에 $x = 2$을 대입하면 좌변은 $0$이므로
$$2^3 - 3(2)^2 + 2k = 0 \implies 2k = 4 \implies k = 2$$

Step 2. 양변을 $x$에 대하여 미분하여 $f(x)$와 $f(3)$ 계산 (60%)

양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) = 3x^2 - 6x + (2)$이므로
$$f(3) = 3(3)^2 - 6(3) + (2) = 11$$

3. 공식 단계별 채점 기준표 (배점: 10점)

채점 단계	세부 인정 기준	배점
상수 $k$ 도출	$x = 2$을 대입하여 $k = 2$을 구한 경우	4점
$f(x)$ 및 $f(3)$ 도출	$f(x) = 3x^2 - 6x + (2)$ 및 $f(3) = 11$을 구한 경우	6점